Die Trägerberechnung bestimmt die Einwirkungen auf einen Träger, die daraus resultierenden Biegemomente und Querkräfte und ob der gewählte Querschnitt diese aufnehmen kann. Wer einen Träger berechnen will, geht in fünf Schritten vor – von den Lastannahmen bis zum Querschnitts- und Durchbiegungsnachweis, nach Eurocode mit den nationalen Anhängen für Deutschland (DIN EN) und Österreich (ÖNORM B).
Schritt 1 – Einwirkungen erfassen
Einwirkungen werden nach Art und Dauer unterschieden:
- Ständige Einwirkungen (G) – Eigengewicht von Träger, Decke, Estrich, Ausbau und festen Trennwänden. Angabe in kN/m oder kN/m².
- Veränderliche Einwirkungen (Q) – Nutzlasten aus Nutzung, Möblierung und Personen. Die charakteristischen Werte qk richten sich nach der Nutzungskategorie (DIN EN 1991-1-1/NA): Kategorie A (Wohnen) 1,5–2,0 kN/m², Kategorie B (Büro) 2,0–3,0 kN/m², Kategorie C (Versammlung) 3,0–5,0 kN/m².
- Schneelast (S) – Dachlast nach EN 1991-1-3, abhängig von Schneelastzone, Geländehöhe und Dachform.
- Windlast (W) – Druck- bzw. Soglast nach EN 1991-1-4, maßgeblich für Dachträger und exponierte Bauteile.
Die charakteristische Streckenlast je Laufmeter Träger ergibt sich aus der Flächenlast und der Lasteinzugsbreite e:
Schritt 2 – Bemessungswert der Einwirkungen (GZT)
Im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) werden die charakteristischen Lasten mit Teilsicherheitsbeiwerten erhöht und kombiniert. Die Grundkombination nach EN 1990, Gl. (6.10), lautet:
Maßgebende Beiwerte nach DIN EN 1990/NA:
- γG = 1,35 (ständig, ungünstig); γG,inf = 1,00 (günstig)
- γQ = 1,50 (veränderlich, ungünstig)
- Kombinationsbeiwerte ψ0: Nutzlast 0,7 · Schnee 0,5 · Wind 0,6
Die führende veränderliche Last erhält den vollen Beiwert γQ, alle weiteren werden mit ψ0 abgemindert. Bei nur einer veränderlichen Last vereinfacht sich die Kombination zu γG · Gk + γQ · Qk.
Rechenbeispiel
Bürodecke, Einfeldträger: ständige Last gk = 5,0 kN/m², Nutzlast qk = 3,0 kN/m², Lasteinzugsbreite e = 4,0 m, Stützweite L = 6,0 m.
Ed = 1,35 × 20 + 1,50 × 12 = 27 + 18 = 45 kN/m
Schritt 3 – Schnittgrößen berechnen
Für den Einfeldträger (gelenkig gelagert) unter Gleichstreckenlast gelten:
maximale Querkraft: VEd = Ed · L / 2
mit Ed als Bemessungs-Streckenlast in kN/m und L als Stützweite in m. Für eine Einzellast F in Feldmitte gilt MEd = F · L / 4 und VEd = F / 2.
Trägerformeln im Überblick
| Lastfall | max. Moment | max. Querkraft | Durchbiegung |
|---|---|---|---|
| Gleichstreckenlast, Einfeldträger | wL²/8 | wL/2 | 5wL⁴/384EI |
| Einzellast Feldmitte, Einfeldträger | FL/4 | F/2 | FL³/48EI |
| Gleichstreckenlast, Kragträger | wL²/2 | wL | wL⁴/8EI |
| Einzellast am Kragarmende | FL | F | FL³/3EI |
| Gleichstreckenlast, beidseitig eingespannt | wL²/12 (Auflager) | wL/2 | wL⁴/384EI |
| Einzellast Feldmitte, eingespannt | FL/8 (Auflager) | F/2 | FL³/192EI |
w = Gleichstreckenlast (kN/m) · F = Einzellast (kN) · L = Stützweite (m) · E = Elastizitätsmodul (kN/cm²; Stahl 21 000, Beton C30/37 ≈ 3 300) · I = Flächenträgheitsmoment (cm⁴, aus Profiltabellen).
Schritt 4 – Querschnittsnachweis (Biegung und Querkraft)
Der Querschnitt muss die Schnittgrößen aufnehmen können. Für einen Stahlträger der Querschnittsklasse 1 oder 2 beträgt die plastische Momententragfähigkeit:
mit der Streckgrenze fy (S235: 23,5 kN/cm²; S355: 35,5 kN/cm²) und dem plastischen Widerstandsmoment Wpl,y aus der Profiltabelle. Der Teilsicherheitsbeiwert γM0 = 1,0 (DIN EN 1993-1-1/NA). Der Nachweis ist erfüllt, wenn:
Erforderliches Widerstandsmoment: Wpl,y ≥ MEd / fy = 20 250 kNcm / 23,5 kN/cm² = 862 cm³. Ein IPE 360 (Wpl,y = 1 019 cm³) erfüllt den Nachweis, ein IPE 330 (804 cm³) nicht.
Schritt 5 – Durchbiegungsnachweis (GZG)
Die Durchbiegung wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG) mit den charakteristischen, also nicht erhöhten Lasten nachgewiesen. Für den Einfeldträger unter Gleichstreckenlast:
Übliche Grenzwerte nach DIN EN 1993-1-1/NA: Decken L/300, Kragträger L/150; bei empfindlichem Ausbau (Putz, Glas) oft L/500 für die veränderlichen Anteile.
wk = 20 + 12 = 32 kN/m = 0,32 kN/cm; IPE 360: Iy = 16 270 cm⁴; E = 21 000 kN/cm²
Grenzwert L/300 = 6 000 / 300 = 20 mm → Nachweis erfüllt
Damit ist der Träger sowohl für die Tragfähigkeit als auch für die Gebrauchstauglichkeit nachgewiesen. Die Reihenfolge bleibt immer gleich: Einwirkungen erfassen, mit Teilsicherheitsbeiwerten kombinieren, Schnittgrößen bestimmen, Querschnitt und Durchbiegung nachweisen.